Analyse technique de l’initialisation
et de la propagation de fissures
en simulation de la fissuration par champ de phase
IMSIA, CNRS, EDF,
ENSTA, IP Paris
IMSIA, CNRS, EDF,
ENSTA, IP Paris
27 Août 2025 au Congrès Français de Mécanique 2025
Approche variationelle de la rupture
Francfort & Marigo (1998) et Bourdin et al. (2000)
Problème de minimisation
Le déplacement \(\boldsymbol{u}\) et la fissure \(\Gamma\) du corps élastique \(\Omega\) sont régis par \[ (\boldsymbol{u}, \Gamma) = \arg\min_{\boldsymbol{u}', \Gamma'} \mathcal{E}(\boldsymbol{u}', \Gamma'), \] \[ \mathcal{E}(\boldsymbol{u}, \Gamma) = \underset{\text{Énergie potentielle}}{\mathcal{P}(\boldsymbol{u}, \Gamma)} + \underset{\vphantom{\text{É}} \text{Dissipation}}{G_c \mathcal{H}(\Gamma)}, \] où \(\mathcal{H}(\Gamma)\) est la mesure de la surface fissuré.
Régularisation de la fissure
La fissure est représentée par un champ diffus \(\alpha(\boldsymbol{x})\) tel que,
\[ \mathcal{H}_\ell(\alpha) = \frac{1}{c_w} \int_{\Omega} \frac{w(\alpha)}{\ell} + \ell \| \nabla \alpha \|^2 \,\mathrm{d}x\underset{\ell \to 0}{\to} \mathcal{H}(\Gamma). \]
Discrétisation du problème
La discrétisation apporte une source d’erreur qui n’est pas seulement influencée par la taille du maillage.
Objectif
Étudier l’influence de la discrétisation via
- le seuil de propagation \(\rightarrow\) influence de l’initialisation de la fissure,
- la trajectoire de la fissure \(\rightarrow\) influence du maillage.
Problème de réference
Simulations éléments finis
- Champ de phase avec 8 initialisation de fissures
- Maillages structurés en quad
- Surface de fissure libre d’effort
- Propagation de fissure incrémental (MERR)
Remarque
Suivi chemin d’équilibre via path-following/arc-length.
Fissure infiniment fine
Surpic artificiel \(\implies\) Surestimation seuil de propagation + Propagation instable
Fissure avec un élément d’épaisseur
Le surpic est éliminé si le champ de phase \(\alpha\) est égal à 1 sur la fissure.
Conclusion : Fissures initiales
Recommendations
- Vérifier que l’initialisation de la fissure est correcte si il y a:
- une surestimation du seuil de propagation,
- une propagation instable inattendue.
- Initialiser les fissures via une bande d’un élément ayant \(\alpha = 1\) (en retirant ou non les éléments du maillage).
Pour aller plus loin
- Conclusions valables pour des discrétisations continues des champs.
- Maillage non-structuré OK \(\rightarrow\) Loiseau & Lazarus (2025).
- Que se passe-t-il en mode mixte ? Avec \(G_c\) anisotrope ?
Anisotropie induite par le maillage
Dans le cas théorique où \(\alpha \in H^1(\mathbb{R}^d)\), la \(\Gamma\)-convergence (Braides, 1998; Giacomini, 2005) \[ G_c \mathcal{H}_\ell(\alpha) \underset{\Gamma\text{-cv}}{\to} G_c \int_\Gamma \mathrm{d}S. \]
Si \(\alpha\) est dans un espace élement fini (Lagrange ordre 1), Negri (2003) a montré que \[ G_c \mathcal{H}_\ell(\alpha) \underset{\Gamma\text{-cv}}{\to} G_c \int_\Gamma \phi(\theta) \mathrm{d}S. \]
Pure shear avec fissure eccentrée
Proposé par H. Henry
Simulations éléments finis
- Champ de phase avec maillages stucturé/non structuré et 3 tailles \(\Delta x\)
- \(\ell = H/16\)
- Propagation de fissure incrémental (MERR)
Maillages
Maillage QUAD structuré
Maillage TRI non-structuré
Note: Par soucis de clarté, les maillages sont grossiers (\(\Delta x = H/12\)).
Résultats: Maillage structuré
Observation
Biais numérique important, même pour des maillages relativement fin (\(\ell = \frac{\Delta x}{8}\)).
Résultats: Maillage non-structuré
Observation
Biais numérique réduit,
mais on observe un “bruit”
qui décroît avec \(\Delta x\).
Merci pour votre attention !
F. Loiseau, E. Zembra, H. Henry & V. Lazarus.
Presentation
Ce travail est financé par l’Agence de l’Innovation de Défense – AID – via le Centre Interdisciplinaire d’Etudes pour la Défense et la Sécurité – CIEDS – (projects 2022 - FracAddi).
Comment initialiser une fissure
pour prédire correctement
le seuil de propagation ?
Publication associée : Loiseau & Lazarus (2025) in JTCAM.